Rule of Divisibility ( विभाजित होने के नियम)

 

Rule of Divisibility ( विभाजित होने के नियम)

(1) 2 से विभाजित होने के नियम–

कोई दी गई संख्या 2 से तभी विभाजित होगी जब इसका इकाई का अंक 2, 4, 6 अथवा 8 में से कोई हो ।

जैसे -764,972,685978 कोई दी संख्या 2 से तभी विभाजित होगी क्योंकि इसमें इकाई के अंक क्रमशः 2 तथा 8 हैं।

(2) 3 से विभाजित होने के नियम–

कोई दी गई संख्या 3 से तभी विभाजित होगी जब इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्णत: विभाजित हो।

जैसे-संख्या 9576021 के अंकों योग 30 है जो 3 से पूर्णतः विभाजित होता है। अत: संख्या 9576021 ,3 से पूर्णत:

विभाजित है।

(3) 4 से विभाजित होने के नियम–

कोई दी गई संख्या 4 से विभाजित तभी होगी जब इसके दहाई तथा इकाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो।

जैसे : 15616 संख्या में दहाई तथा इकाई से बनी संख्या 16 है जो 4 से पूर्णत: विभाजित है। अत: संख्या 15616, 4 से पूर्णत: विभाजित होगी।

(4) 5 से विभाजित होने के नियम–

कोई संख्या 5 से विभाजित तभी होगी जब उसके इकाई के अंक 0 तथा 5 हैं।

जैसे : 90540 तथा 14565 संख्याओं में इकाई के अंक क्रमंश: 0 तथा 5 हैं। अत ये दोनों संख्याएँ 5 से विभाजित होंगी।

(5) 6 से विभाजित होने के नियम–

यदि कोई संख्या 2 एवं 3 से साथ-साथ विभाजित होती हैं तो वह संख्या 6 से भी विभाजित हो जाएगी।

जैसे-संख्या 96312, 2 से भी विभाजित होती है और 3 से भी विभाजित होती है। अतः यह संख्या 6 से पूर्णतः विभाजित होगी।

(6) 7 से विभाजित होने का नियम-

यदि संख्या के अन्तिम अंकों को 2 से गुणा करके शेष अंकों से बनी संख्या से घटाया जाए और इससे प्राप्त शेषफल यदि 7 हो अथवा 0 हो तो

संख्या 7 से विभाजित हो जाएगी।

इस संख्या का अन्तिम अंक 1 है

इसका दो गुणा = 2

शेषफल अंकों की संख्या =9

शेषफल = 240 – 2 = 238

उपरोक्त प्रक्रिया को शेषफल 238 के साथ दोहराने पर

23-2 x 8 =7

चूँकि अन्तिम शेषफल 7 है, अत: यह संख्या 7 से विभाजित होगी।

(7) 8 से विभाजित होने का नियम–

कोई संख्या 8 से विभाजित तभी होगी जब उसके सैकड़े, दहाई तथा इकाई के अंकों से बनी संख्या 8 से पूर्णतः विभाजित हो;

जैसे-संख्या 3758256 के सैकड़े, दहाई तथा इकाई के अंकों से बनी संख्या 256 है जो 8 से पूर्णत: विभाजित होती है। अत: यह संख्या 8 से पूर्णतः विभाजित होगी।

(8) 9 से विभाजित होने का नियम–

यदि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाजित हो जाता है तो संख्या 9 से विभाजित हो जाएगी।

उदाहरण : 9783

संख्या के अंकों का योग

= 9 + 7 + 8 + 3

= 27 जो 9 से भाज्य है

(9) 10 से विभाजित होने का नियम–

यदि संख्या का अन्तिम अंक शून्य हो तो संख्या 10 से विभाजित हो जाएगी;

जैसे :1105790 ,256890 etc

(10) 11 से विभाजित होने का नियम–

कोई दी गई संख्या 11 से तभी विभाजित होगी जब इकाई अंक से बाईं ओर चलने पर सम स्थानों के अंकों के योगफल तथा विषम स्थानोंके अंकों से योगफल का अन्तर 0 हो अथवा 11 से पूर्णतया विभाजित होता हो।

जैसे-(a) संख्या 1572362 में

(सम स्थानों के अंकों का योगफल) – (विषमं स्थानों के अंकों का योगफल)

(6+2+5) – (2+3+7+1)

13 – 13 =0

:5665 ,459635 , में से प्रत्येक संख्या  के सम स्थानों तथा विषम स्थानों के योगकमका अन्तर 0 है। इसलिए दी गई संख्या 1 । से पूर्णत : विभाजित होगी .

(b) संख्या 3,69,52,162 में

(सम स्थानों के अंकों का योगफल) – (विषम स्थानों के अंकों का योगफल)

(6+2+ 9+3) – (2 +1+5+6)

20 – 14 =6

चूँकि अन्तर अंक 6 है जो 11 से विभाजित नहीं होताइसलिए दी गई संख्या 11 से विभाजित नहीं होगी।

(11) 12 से विभाजित होने का नियम–

यदि संख्या 3 एवं4 से साथ-साथ विभाजित हो जाए तो संख्या 12 से भी विभाजित हो जाएगी।

जैसे : 4,944, 71,688 इत्यादि ।

(12) 13 से विभाजित होने का नियम–

-यदि संख्या केअन्तिम अंक को 4 से गुणा करके शेष अंकों से बनी संख्या मेंजोड़ा जाए और इससे प्राप्त शेषफल यदि 13 से विभाजित हो तो संख्या 13 से विभाजित हो जाती है ।

उदाहरण : 676

इस संख्या का अन्तिम अंक 6 है। 6 को 4 से गुणा करके शेष संख्या में जोड़ने पर,

67+ 6 X 4 = 67+24 =91

उपरोक्त प्रक्रिया पुनः करने पर,

9 +4 X 1 = 13

(13) 14 से विभाजित होने का नियम–

यदि कोई सख्या 2 व 7 दोनों से साथ-साथ विभाजित हो जाती है तो वह सख्या 14 से भी विभाजित हो जाएगी।

(14) 15 से विभाजित होने का नियम–

यदिकोई सख्या 3 और 5 से साथ-साथ विभाजित हो जाती है तो वह संख्या 15से भी विभाजित हो जाएगी।

(15) 17 से विभाजित होने का नियम–

यदि संख्या केअन्तिम अंक को 5 से गुणा करके शेष अंकों से बनी संख्या सेघटाया जाए और इससे प्राप्त शेषफल यदि 17से विभाजित हो।जाए तो संख्या 17 से विभाजित हो जाएगी।

(16) यदि तीन अंकों की किसी संख्या के तीनों अंक समान हों, जैसे : 222, 777, 333 आदि तो वह संख्या 3 और 37 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है। (37 से विभाज्यता का नियम )

(17) यदि 6 अंकों की किसी संख्या के सभी अंक समान हों तो वह संख्या 3, 7, 11,13 और 37 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है।

जैसे -111111 ,777777 ,444444 , 999999 आदि।

19 से विभाज्यता के नियम-

जैसे -101137 क्या 19 से विभाज्यता रखता है ?

इसके इकाई की संख्या(7) को दुगुना कर बाकी संख्या में जोड़ते हैं  संख्या 1011३+ २*7=10127 अब इसके इकाई को दुगुना करने पर 1012 +2*7 =1026 पुनः 1026 के इकाई को दुगुना करने पर 102+२*6=114 अब 114 को यही दोहराने पर 11+2*4 = 19 आता है अतः 101137- 19 से भाजकता प्रदर्शित करता है